3 х 2 1 х 3 производная

Производная функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производную определяют как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть. Функция, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называется дифференцируемой (в данной точке).

Процесс нахождения производной является дифференцированием. Обратный процесс — вычисление первообразной — интегрирование.

Изображение понятия производной:

Рассмотрим взятую наугад внутреннюю точку x области определения функции y = f(x).

Разность где x — тоже внутренняя точка области определения, является приращением аргумента в точке x.

Разность является приращением функции в точке x, соответствующим приращению и обозначают как .

Производной функции y = f(x) в точке x является предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть и конечен, то есть:

Основные свойства производных.

Если в точке x есть конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), тогда в этой точке есть и производные суммы, разности, произведения и частного таких функций, при этом:

1. ,

2. ,

3. ,

4. при ,

5. , .

1. Производная сложной функции.

Если у функции y = f(x) есть производная в точке x, а у функции y = g(x) есть производная в точке y = f(x), тогда у сложной функции h(x) = g(f(x)) тоже есть производная в точке x, при этом:

2. Достаточное условие монотонности функции.

Если во всех точках интервала (a; b) выполняется неравенство:

то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

Если при то y = f(x) убывает на (a; b).

3. Необходимое условие экстремума функции.

Если точка x оказывается точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке есть производная , тогда она равняется 0:

4. Признак максимума функции.

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и на интервале и , на интервале , то точка x оказывается точкой максимума функции:

5. Признак минимума функции.

Если функция определена на интервале , непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и , на интервале и на интервале , то точка x оказывается точкой минимума функции:

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы вычислить самое большое и маленькое значения функции, которая имеет на отрезке конечное количество критических точек (точек из области определения, обращающих производную функции в ноль либо не существует), необходимо определить значения функции в каждой критической точке и на концах отрезка и выбрать самое большое и маленькое из полученных чисел.

Определение производной функции.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции является такое число A, что функцию в окрестности можно представить как:

если A существует.

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции f в точке является предел, если он существует:

Общепринятые обозначения производной функции в точке .

Обратите внимание, что последнее зачастую обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Геометрический и физический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной прямой.

Если у функции есть конечная производная в точке , тогда в окрестности ее можно приблизить линейной функцией:

Функция является касательной к f в точке . Число называется угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции.

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

В общем производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , т.е. скорость протекания процесса, который описан зависимостью

Примеры производных функций.

• Пусть . Тогда

• Пусть . Тогда если то

где обозначает функцию знака. А если то , а следовательно не существует.

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.