Как определить интервалы возрастания и убывания функции - Домашний мастер Dach-Master.ru
28 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как определить интервалы возрастания и убывания функции

Как определить интервалы возрастания и убывания функции

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.

Здравствуйте! Как я понимаю, в точке х=2 производная равна нулю, следовательно, это точка минимума, то есть число 2 не включается в интервал, и тогда сумма равна 3+4+5=12

Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки при­со­еди­ня­ют­ся как к про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния, так и к про­ме­жут­кам убы­ва­ния, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции — все они возрастают на отрезке

Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке [a;b]. Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) — входят.

Учитывая, что первая часть ЕГЭ для «средней группы детского сада», то наверное такие нюансы- перебор.

Отдельно, большое спасибо за «Решу ЕГЭ» всем сотрудникам- отличное пособие.

Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

Коллеги, есть понятие возрастания в точке

(см. Фихтенгольц например)

и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке [2; 6) функция возрастает.

После нахождения промежутков просят найти какие целые числа попадают в эти промежутки.

В условии и в решении не идёт речи о возрастании в точке.

Возрастание, убывание и монотонность функции

Понятие возрастания, убывания и монотонности функции

Исследование функции на возрастание и убывание может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Читать еще:  Стили дизайна интерьера и их характерные черты

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[ , принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x 2 > x 1 → f(x 2 ) > f(x 1 ) для всех x 1 и x 2 , принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[ , если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x 2 > x 1 → f(x 2 ) 0 ), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля ( f ‘(x) < 0 ), то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю ( f ‘(x) ≥ 0 ) или меньше или равна нулю ( f ‘(x) ≤ 0 ), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

Решение. Находим производную функции:

(Для разложения квадратного двухчлена на множители решали квадратное уравнение).

Для отыкания промежутков возрастания и убывания функции найдём точки, в которых . Такими точками являются и .

Исследуем знаки производной в промежутках, ограниченных этими точками. От до точки знак положителен, от точки до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Ответ на вопрос задания: промежутки возрастания данной функции — и , а промежуток убывания функции — .

Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Находим производную функции:

Решая уравнение , получаем точки, в которых производная функции равна нулю:

.

Исследуем знаки производной. От до точки знак положителен, от точки до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Наше исследование показало, что промежутки возрастания данной функции и , а промежуток убывания —

Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Область определения функции — промежуток , так как логарифмическая функция определена при .

Далее находим производную функции:

.

Решая уравнение , получаем точку, в которой производная равна нулю:

Исследуем знаки производной. От 0 до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Ответ: промежуток убывания функции — , а промежуток возрастания — .

Признаки постоянства, возрастания и убывания функций на промежутке

Необходимое и достаточное условие постоянства функции y = f ( x ) выражается равенством y ’ = 0.

Если производная функции на участке существует и равна нулю и функция определена на данном участке, то функция на данном участке постоянна.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых двух значений x1 и x2 из неравенства x1

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке (a,b), если для любых двух значений x1 и x2 из неравенства x1 f(x2).

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Нахождение максимумов и минимумов функции с помощью производных

Определение: Говорят, что функция имеет в точке максимум , ( или минимум) , если существует некоторая окрестность в промежутке, где функция определена, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство ( ).

Пусть функция определена на некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная , то необходимо .
Определение: Если выполняется равенство , то точку будем называть стационарной точкой.
Определение: Стационарные точки и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, будем называть точками, подозрительными на экстремум.

Предположим, что в некоторой окрестности стационарной точки существует конечная производная и как слева от ,так и справа от ( в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1) при и при (производная при переходе через точку меняет свой знак с плюса на минус). Т.е. при функция возрастает, а при — убывает. Значит, значение будет наибольшим в промежутке . Другими словами, в точке функция имеет максимум.

Пояснение: Сверху от числовой оси указывается знак производной на соответствующем интервале, снизу от числовой оси обозначается поведение функции на соответствующем интервале (убывание или возрастание).
2) при и при (производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс). Т.е. при функция убывает, а при — возрастает. Значит, значение будет наименьшим в промежутке . Другими словами, в точке функция имеет минимум.

3) при и при ( при и при )(производная при переходе через точку не меняет свой знак). Т.е. функция в промежутке убывает (возрастает). Другими словами, в точке функция не имеет экстремума.

Читать еще:  Интересные тесты на логику

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Лекция 14. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ;

План:

1. Признаки возрастания и убывания функции

2. Понятие точек экстремума и экстремумов функции

3. Необходимые условия существования экстремума

4. Достаточные условия существования экстремума

  1. Признаки возрастания и убывания функции

Напомним определение возрастающей и убывающей функции на интервале .

Функция называется возрастающей на интервале , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если , , , то .

Пример возрастающей функции приведен на рис. 14.1.

Функция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если , , , то .

Пример убывающей функции приведен на рис. 14.2.

Интервалы, в которых функция либо только возрастает, либо только убывает, называются интервалами монотонности.

Сформулируем критерий возрастания и убывания функции:

Теорема. Пусть — дифференцируемая на интервале функция. Функция возрастает на тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Функция убывает на тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Представим критерий возрастания и убывания функции в виде схемы:

  1. Понятие точек экстремума и экстремумов функции

Среди всех точек области определения функции наибольший интерес для нас будут представлять точки экстремума функции.

Введем понятие окрестности. Окрестностьюточки будем называть любой интервал , содержащий эту точку.

Точка хо из области определения функции называется точкой минимума функции, если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполнено неравенство: (рис. 14.3).

Точка хо из области определения функции называется точкой максимума функции, если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполнено неравенство: (рис. 14.4).

Значения функции в точках минимума и максимума называются соответственно минимумом и максимумом функции.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции, а максимум и минимум – экстремумами функции.

Функция может иметь несколько экстремумов.

Так, функция на рис. 14.5 имеет три точки экстремума (х1, х3 точки максимума, х2 точка минимума) и, соответственно, три экстремума (у1, у3 максимумы функции, у2=0 – минимум).

  1. Необходимые условия существования экстремума

Необходимое условие существования экстремума функции даёт теорема Ферма:

Теорема Ферма. Если точка хо – точка экстремума функции и в ней существует производная f`(xo), то эта производная равна нулю, т.е. f'(xo)=0.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис. 14.6): касательные, проведенные к графику функции в точках экстремума (при условии существования в них производной, а, следовательно, единой касательной), параллельны оси ОХ. Угловой коэффициент α касательных, проведенных к графику функции в точках экстремума, равен 0, и в силу геометрического смысла производной ( = ), производная функции в этих точках обращается в ноль.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, назовем критическими точками (первого рода). Только среди критических точек могут быть точки экстремума.

Но любая ли критическая точка является точкой экстремума? Рассмотрим всем хорошо известную функцию . Найдем ее производную и критические точки: =0 .

Итак, является критической точкой функции , но она не является точкой экстремума. Таким образом, теорема Ферма дает только необходимые условия существования экстремума.

Читать еще:  Электропила цепная Макита Интерскол характеристики отзывы

Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

  1. Достаточные условия существования экстремума

Теорема. Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Тогда:

1. если производная при переходе через точку хо меняет знак с плюса на минус, то точка хо является точкой максимума;

2. если производная при переходе через точку хо меняет знак с минуса на плюс, то точка хо является точкой минимума.

Представим критерий нахождения точек экстремума функции в виде схемы:

Возрастание и убывание функции

Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале ((a,b)) функция (f(x)) была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$
f'(x)geq 0 при всех xin(a,b).label
$$
Аналогично, условие
$$
f'(x)leq 0 при всех xin(a,b)label
$$
является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции (f(x)) на интервале ((a,b)).

(circ) Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей функции.

Необходимость. Пусть (x_0) — произвольная точка интервала ((a,b)). Из определения возрастающей функции следует, что
$$
forall xin (a,b): x > x_<0> rightarrow f(x)geq f(x_<0>),nonumber
$$
$$
forall xin (a,b): x x_1rightarrow f(x_2) geq f(x_<1>).label
$$
Это означает, что функция (f(x)) является возрастающей на интервале ((a,b). bullet)

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если для всех (xin (a,b)) выполняется условие
$$
f'(x) > 0,label
$$
то функция (f(x)) строго возрастает на интервале ((a,b)), а если для всех (xin (a,b)) справедливо неравенство
$$
f'(x) f(x_<1>)). Это означает, что функция (f(x)) строго возрастает на интервале ((a,b)). (bullet)

Доказать, что функции (operatornamex) и (operatorname

x) строго возрастают на (mathbb).

(triangle) Так как ((operatornamex)’=operatornamex > 0) и ((operatorname

x=displaystyle frac<1>^<2>x> > 0) для всех (xinmathbb), то по теореме 2 функции (operatornamex) и (operatorname

x) являются строго возрастающими на (mathbb). (blacktriangle)

Условие eqref не является необходимым для строгого возрастания функции. Например, функция (f(x)=x^<3>) строго возрастает на (mathbb), но условие eqref не выполняется, так как (f'(0)=0).

Если функция (f(x)) непрерывна на отрезке ([a,b]), дифференцируема на интервале ((a,b)) и удовлетворяет условию eqref, то эта функция строго убывает на отрезке ([a,b]).

(circ) Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа. (bullet)

Доказать, что если (0 frac<2>x.label
$$

(triangle) Рассмотрим функцию (f(x)=displaystyle frac,;f(0)=1). Эта функция непрерывна на отрезке (left[0,displaystyle frac<2>right]) и дифференцируема на интервале (left(0,displaystyle frac<2>right)), причем (f'(x)=displaystyle frac>(x-operatornamex) 0, operatornamex > x). По теореме 3 функция (f(x)) строго убывает на отрезке (left[0,displaystyle frac<2>right]), и поэтому (f(x) > f(displaystyle frac<2>)) для (xinleft(0,displaystyle frac<2>right)), то есть выполняется неравенство (displaystyle frac > frac<2>), равносильное на интервале (left(0,displaystyle frac<2>right)) неравенству eqref. Геометрическая интерпретация неравенства eqref: на интервале (left(0,displaystyle frac<2>right)) график функции (у=sin x) лежит выше графика функции (y=displaystyle frac<2>x) (рис. 20.1).

Рис. 20.1

Отметим, что
$$
sin xgeq displaystyle frac<2>x при xin left[0,displaystyle frac<2>right],label
$$
причем при (x=0) и (x= displaystyle frac<2>) неравенство (sin xgeq displaystyle frac<2>x) обращается в равенство.(blacktriangle)

Возрастание (убывание) функции в точке.

Будем говорить, что функция (f(x)) строго возрастает в точке (x_0) если существует (delta;>;0) такое, что
$$
begin
forall xin (x_<0>-delta,x_0)rightarrow f(x) f(x_<0>),
endlabel
$$

Заметим, что условие eqref равносильно условию
$$
frac)>> > 0,quad xindot_(x_<0>).label
$$
Аналогично вводится понятие строгого убывания функции (f(x)) в точке (x_0). В этом случае
$$
frac)>> 0), то функция (f(x)) строго возрастает в точке (x_0), а если (f'(x_0) 0). Из определения производной следует, что по заданному числу (varepsilon=f'(x_0) > 0) можно найти (delta > 0) такое, что для всех (xindot_(x_0)) выполняется неравенство (left|displaystyle frac)>>-f'(x_<0>)right|

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector